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Propriedades
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Alguns cálculos de determinantes podem ser previamente estudados segundo algumas situações particulares. Para podermos calcular o determinante de algumas matrizes se soubermos distinguir estas situações e também lembrarmos de algumas delas, muita coisa poderá ficar mais fácil.
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Podemos estudar primeiramente três casos em que o determinante de uma Matriz quadrada de ordem n é igual a zero.
1º caso) Se os todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem iguais a zero, então o seu determinante também é igual a zero (∆ A = 0 ).
2°caso) Se uma matriz possuir duas linhas ou duas colunas iguais, então seu determinante é igual a zero.
3ºcaso) Se uma matriz possui duas linhas ou duas colunas proporcionais, ou seja, uma sendo múltipla da outra, então seu determinante é igual a zero. |
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A segunda linha desta matriz é igual a zero, então DA=0
A primeira e terceira linhas desta matriz são iguais, então DA=0
A primeira e terceira linhas desta matriz são proporcionais, então DA=0 |
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Multiplicação de uma linha ou coluna de uma matriz por um número real qualquer. Esta propriedade diz respeito a multiplicação de uma das linhas ou colunas de uma matriz por um número qualquer.
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| Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem multiplicados por um número real qualquer, podendo ser chamado de X, então seu determinante fica multiplicado por X. |
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A matriz C representa a matriz B com a 3º linha multiplicada por 2 Dessa forma ∆B = 3. 2∆C. |
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Multiplicação de uma matriz por um número real qualquer. Esta propriedade refere-se ao resultado de uma matriz totalmente multiplicada por um número qualquer[Alt: todas as suas linhas e colunas]
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| Se uma matriz quadrada de ordem n qualquer é multiplicada por um número real X, seu determinante fica multiplicado por Xn . Então: ∆ (XMatrizn ) = Xn.∆ Matrizn |
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Veja a matriz B:
∆B = 2.(-2) – (-1).1 = -4 + 1 = -3
∆(3B) = 32.-3 = -27 ou 6.(-6) – 3.(-3) = -36+9 = -27 |
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Uma matriz A e sua transposta At. O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta.
Veja esta matriz A de ordem 2x2, calculando seu determinante tem-se:
® DetA = x.w-z.y
Veja agora a transposta de A, também uma matriz 2x2, calculando seu determinante, tem-se que:
® Det At = x.w – y.z
Assim DetA = Det At.
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| Se trocarmos de posição entre si duas linhas ouColunas de uma matriz quadrada, o determinante da matriz resultante é o oposto da anterior. |
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