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Propriedades do Módulo de um número real
 
 
 
A partir da definição de módulo de um número real nós temos as seguintes propriedades:
 
 
 
  1. |x| ≥ 0, para qualquer número real x;
  2. |x| = 0, se e somente se x = 0;
  3. |x| . |y| = |x.y|, para todo x e y reais;
  4. |x|2 = x2, para todo x real;
  6. |x + y| ≤ |x| + |y|, para quaisquer x e y reais
  7. |x - y| ≥ |x| - |y|, para quaisquer x e y reais
    Para a > 0, temos:
  8. |x| < a se, e somente se -a < x < a;
  9. |x| > a se, e somente se x < -a e x > a;
  10. |x| = a se, e somente se x = a ou x = -a.
  Distância e módulo
A distância entre quaisquer dois pontos x e y, da reta real, pode ser dada pela diferença em módulo entre x e y, assim temos:
distância(x, y) = |x – y| Por isso dizemos que |x| é a distância entre x e 0.		  
 
 
 
Vamos dar um destaque especial às propriedades 8, 9 e 10.
Considerando a > 0, acompanhe a animação ao lado e a explicação abaixo:
  • Se |x| < a , então x deve estar entre –a e a.
  • Se |x| > a, então x deve estar à direita de a ou à esquerda de –a na reta real.
  • Se |x| = a, então x só pode ser a ou –a.
Módulo e raiz quadrada
Se tivermos x < 0, não podemos afirmar que , pois:
Por exemplo, se x = - 4, teríamos:
, o que é não é válido, pois sabemos que a raiz quadrada de um número é sempre um valor positivo.
Usando a definição de módulo, podemos escrever:

Esta propriedade pode se estender para todas raízes de índice par:

Mas, com relação às raízes de índice ímpar, podemos ter x < 0: